9.4. SPLITTING FIELDS AND AUTOMORPHISMS

i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 427 — #439

i

i

9.4. SPLITTING FIELDS AND AUTOMORPHISMS

427

Now, suppose K is a field of characteristic p and that f .x/ is an irre ducible polynomial in KŒx. If f .x/ has a multiple root in some extension field, then Df .x/ is identically zero, by Exercise 9.3.6. Therefore, there is a g.x/ 2 KŒx such that f .x/ D g.xp/ D a0 C a1xp C : : : ar xrp.

Suppose that for each ai there is a bi 2 K such that bp

i

D ai . Then f .x/ D .b0 C b1x C    br xr /p, which contradicts the irreducibility of f .x/. This proves the following theorem:

Theorem 9.3.2. Suppose K is a field of characteristic p in which each element has a pth root. Then any irreducible polynomial in KŒx has only simple roots in any field extension.

Proposition 9.3.3. Suppose K is a field of characteristic p. The map a 7! ap is a field isomorphism of K into itself. If K is a finite field, then a 7! ap is an automorphism of K.

Proof. Clearly, .ab/p D apbp for a; b 2 K. But also .a C b/p D ap C bp by Exercise 9.3.7. Therefore, the map is a homomorphism. The homomorphism is not identically zero, since 1p D 1; since K is simple, the homomorphism must, therefore, be injective. If K is finite, an injective map is bijective.

n

Corollary 9.3.4. Suppose K is a finite field. Then any irreducible polynomial in KŒx has only simple roots in any field extension.

Proof. K must have some prime characteristic p. By Proposition any element of K has a pth root in K and, therefore, the result follows from Theorem 9.3.2.

n

9.4. Splitting Fields and Automorphisms

Recall that an automorphism of a field L is a field isomorphism of L onto L, and that the set of all automorphisms of L forms a group denoted by Aut.L/. If K  L is a field extension, we denote the set of automorphisms of L that leave each element of K fixed by AutK.L/; we call such automorphisms K-automorphisms of L. Recall from Exercise 7.4.4 that AutK.L/ is a subgroup of Aut.L/.

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 428 — #440

i

i

428

9. FIELD EXTENSIONS – SECOND LOOK Proposition 9.4.1. Let f .x/ 2 KŒx, let L be a splitting field for f .x/, let p.x/ be an irreducible factor of f .x/, and finally let ˛ and ˇ be two roots of p.x/ in L. Then there is an automorphism  2 AutK.L/ such that  .˛/ D ˇ.

Proof. Using Proposition 9.2.1, we get an isomorphism from K.˛/ onto K.ˇ/ that sends ˛ to ˇ and fixes K pointwise. Now, applying Corollary 9.2.5 to K.˛/  L and K.ˇ/  L gives the result.

n

Proposition 9.4.2. Let L be a splitting field for p.x/ 2 KŒx, let M; M 0 be intermediate fields, K  M  L, K  M 0  L, and let  be an isomorphism of M onto M 0 that leaves K pointwise fixed. Then  extends to a K-automorphism of L.

Proof. This follows from applying Proposition 9.2.4 to the situation specified in the following diagram:



L p p p p p p p p p p p p p p p p pqqqqqqq L

qqq

q

q q

q q q

q q

q qqq qqq





M; p.x/



qq

qqqqq M 0; p.x/

n

Corollary 9.4.3. Let L be a splitting field for p.x/ 2 KŒx, and let M be an intermediate field, K  M  L. Write IsoK.M; L/ for the set of field isomorphisms of M into L that leave K fixed pointwise.

(a) There is a bijection from the set of left cosets of AutM .L/ in AutK.L/ onto IsoK.M; L/.

(b) jIsoK.M; L/j D ŒAutK.L/ W AutM .L/.

Proof. According to Proposition 9.4.2, the map  7! jM is a surjection of AutK.L/ onto IsoK.M; L/. Check that .1/jM D .2/jM if, and only if, 1 and 2 are in the same left coset of AutM .L/ in AutK.L/. This proves part (a), and part (b) follows.

n

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 429 — #441

i

i

9.4. SPLITTING FIELDS AND AUTOMORPHISMS

429

Proposition 9.4.4. Let K  L be a field extension and let f .x/ 2 KŒx.

(a) If  2 AutK.L/, then  permutes the roots of f .x/ in L.

(b) If L is a splitting field of f .x/, then AutK.L/ acts faithfully on the roots of f in L. Furthermore, the action is transitive on the roots of each irreducible factor of f .x/ in KŒx.

Proof. Suppose  2 AutK.L/, f .x/ D k0 C k1x C    C knxn 2 KŒx; and ˛ is a root of f .x/ in L. Then f . .˛// D k0 C k1.˛/ C    C kn.˛n// D .k0 C k1˛ C    C kn˛n/ D 0: Thus,  .˛/ is also a root of f .x/. If A is the set of distinct roots of f .x/ in L, then  7! jA is an action of AutK.L/ on A. If L is a splitting field for f .x/, then, in particular, L D K.A/, so the action of AutK.L/ on A is faithful. Proposition 9.4.1 says that if L is a splitting field for f .x/, then the action is transitive on the roots of each irreducible factor of f .x/.

n

Definition 9.4.5. If f 2 KŒx, and L is a splitting field of f .x/, then AutK.L/ is called the Galois group of f , or the Galois group of the field extension K  L.

We have seen that the Galois group of an irreducible polynomial f is isomorphic to a transitive subgroup of the group of permutations the roots of f in L. At least for small n, it is possible to classify the transitive subgroups of Sn, and thus to list the possible isomorphism classes for the Galois groups of irreducible polynomials of degree n. For n D 3; 4, and 5, we have found all transitive subgroups of Sn, in Exercises 5.1.9 and and Section 5.5.

Let us quickly recall our investigation of splitting fields of irreducible cubic polynomials in Chapter 8, where we found the properties of the Galois group corresponded to properties of the splitting field. The only possibilities for the Galois group are A3 D Z3 and S3. The Galois group is A3 if, and only if, the field extension K  L is of dimension 3, and this occurs if, and only if, the element ı defined in Chapter 8 belongs to the ground field K; in this case there are no intermediate fields between K and L. The Galois group is S3 if, and only if, the field extension K  L is of dimension 6. In this case subgroups of the Galois group correspond one to one with fields intermediate between K and L.

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 430 — #442

i

i

430

9. FIELD EXTENSIONS – SECOND LOOK

We are aiming at obtaining similar results in general.

Definition 9.4.6. Let H be a subgroup of Aut.L/. Then the fixed field of H is Fix.H / D fa 2 L W .a/ D a for all  2 H g.

Proposition 9.4.7. Let L be a field, H a subgroup of Aut.L/ and K  L a subfield. Then (a) Fix.H / is a subfield of L.

(b) AutFix.H/.L/  H .

(c) Fix.AutK.L//  K.

Proof. Exercise 9.4.1.

n

Proposition 9.4.8. Let L be a field, H a subgroup of Aut.L/, and K  L a subfield. Introduce the notation H ı D Fix.H / and K0 D AutK.L/. The previous exercise showed that H ı0  H and L0ı  L.

(a) If H1  H2  Aut.L/ are subgroups, then H ı 1  H ı

2 .

(b) If K1  K2  L are fields, then K01  K02.

Proof. Exercise 9.4.2.

n

Proposition 9.4.9. Let L be a field, H a subgroup of Aut.L/, and K  L a subfield.

(a) .H ı/0ı D H ı.

(b) .K0/ı0 D K0.

Proof. Exercise 9.4.3.

n

Definition 9.4.10. A polynomial in KŒx is said to be separable if each of its irreducible factors has only simple roots in some (hence any) splitting field. An algebraic element a in a field extension of K is said to be separable over K if its minimal polynomial is separable. An algebraic field extension L of K is said to be separable over K if each of its elements is separable over K.

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 431 — #443

i

i

9.4. SPLITTING FIELDS AND AUTOMORPHISMS

431

Remark 9.4.11. Separability is automatic if the characteristic of K is zero or if K is finite, by Theorems 9.3.1 and 9.3.4.

Theorem 9.4.12. Suppose L is a splitting field for a separable polynomial f .x/ 2 KŒx. Then Fix.AutK.L// D K.

Proof. Let ˇ1; : : : ; ˇr be the distinct roots of f .x/ in L. Consider the tower of fields: M0 D K      Mj D K.ˇ1; : : : ; ˇj /      Mr D K.ˇ1; : : : ; ˇr / D L: A priori, Fix.AutK.L//  K. We have to show that if a 2 L is fixed by all elements of AutK.L/, then a 2 K. I claim that if a 2 Mj for some j  1, then a 2 Mj 1. It will follow from this claim that a 2 M0 D K.

Suppose that a 2 Mj . If Mj 1 D Mj , there is nothing to show.

Otherwise, let ` > 1 denote the degree of the minimal polynomial p.x/ for ˇj in Mj 1Œx. Then f1; ˇj ;    ; ˇ` 1

j

g is a basis for Mj over Mj 1.

In particular, a D m0 C m1ˇj C    C m` 1ˇ` 1

j

(9.4.1)

for certain mi 2 Mj 1.

Since p.x/ is a factor of f .x/ in Mj 1Œx, p is separable, and the ` distinct roots f˛1 D ˇj ; ˛2; : : : ; ˛`g of p.x/ lie in L. According to Proposition 9.4.1, for each s, there is a s 2 AutM .L/  Aut

j

1

K .L/ such that s.˛1/ D ˛s. Applying s to the expression for a and taking into account that a and the mi are fixed by s, we get a D m0 C m1˛s C    C m` 1˛` 1

s

(9.4.2)

for 1  s  `. Thus, the polynomial .m0 a/ C m1x C    C m` 1xl 1 of degree no more than ` 1 has at least ` distinct roots in L, and, therefore, the coefficients are identically zero. In particular, a D m0 2 Mj 1.

n

The following is the converse to the previous proposition:

Proposition 9.4.13. Suppose K  L is a field extension, dimK.L/ is finite, and Fix.AutK.L// D K.

(a) For any ˇ 2 L, ˇ is algebraic and separable over K, and the minimal polynomial for ˇ over K splits in LŒx.

(b) For ˇ 2 L, let ˇ D ˇ1; : : : ; ˇn be a list of the distinct elements of f.ˇ/ W  2 AutK.L/g. Then .x ˇ1/.: : : /.x ˇn/ is the minimal polynomial for ˇ over K.

(c) L is the splitting field of a separable polynomial in KŒx.

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 432 — #444

i

i

432

9. FIELD EXTENSIONS – SECOND LOOK Proof. Since dimK.L/ is finite, L is algebraic over K.

Let ˇ 2 L, and let ˇ D ˇ1; : : : ; ˇr be the distinct elements of f.ˇ/ W  2 AutK.L/g. Define g.x/ D .x ˇ1/.: : : /.x ˇr / 2 LŒx. Ev ery  2 AutK.L/ leaves g.x/ invariant, so the coefficients of g.x/ lie in Fix.AutK.L/ D K.

Let p.x/ denote the minimal polynomial of ˇ over K. Since ˇ is a root of g.x/, it follows that p.x/ divides g.x/. On the other hand, every root of g.x/ is of the form  .ˇ/ for  2 AutK.L/ and, therefore, is also a root of p.x/. Since the roots of g.x/ are simple, it follows that g.x/ divides p.x/. Hence p.x/ D g.x/, as both are monic. In particular, p.x/ splits into linear factors over L, and the roots of p.x/ are simple. This proves parts (a) and (b).

Since L is finite–dimensional over K, it is generated over K by finitely many algebraic elements ˛1; : : : ; ˛s. It follows from part (a) that L is the splitting field of f D f1f2    fs, where fi is the minimal polynomial of ˛i over K.

n

Recall that a finite–dimensional field extension K  L is said to be Galois if Fix.AutK.L// D K.

Combining the last results gives the following:

Theorem 9.4.14. For a finite–dimensional field extension K  L, the following are equivalent: (a) The extension is Galois.

(b) The extension is separable, and for all ˛ 2 L the minimal polynomial of ˛ over K splits into linear factors over L.

(c) L is the splitting field of a separable polynomial in KŒx.

Corollary 9.4.15. If K  L is a finite–dimensional Galois extension and K  M  L is an intermediate field, then M  L is a Galois extension.

Proof. L is the splitting field of a separable polynomial over K, and, therefore, also over M .

n

Proposition 9.4.16. If K  L is a finite–dimensional Galois extension, then dimK L D jAutK.L/j:

(9.4.3)

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 433 — #445

i

i

9.4. SPLITTING FIELDS AND AUTOMORPHISMS

433

Proof. The result is evident if K D L. Assume inductively that if K  M  L is an intermediate field and dimM L