8.3. MULTILINEAR MAPS AND DETERMINANTS

i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 357 — #369

i

i

8.3. MULTILINEAR MAPS AND DETERMINANTS

357

8.2.6. Prove the Factorization Theorem, Proposition 8.2.9.

8.2.7. Prove the Diamond Isomorphism Theorem, Proposition 8.2.10.

8.2.8. Let R be a ring with identity element. Let M be a finitely generated R–module. Show that there is a free R module F and a submodule K  F such that M Š F=K as R–modules.

8.3. Multilinear maps and determinants Let R be a ring with multiplicative identity element. All R–modules will be assumed to be unital.

Definition 8.3.1. Suppose that M1; M2; : : : ; Mn and N are modules over R. A function ' W M1      Mn ! N

is multilinear (or R–multilinear) if for each j and for fixed elements xi 2

Mi (i ¤ j ), the map x 7! '.x1; : : : ; xj 1; x; xj C1; : : : ; xn/ is an R–module homomorphism.

It is easy to check that the set of all multilinear maps ' W M1      Mn ! N

is an abelian group under addition; see Exercise 8.3.1.

We will be interested in the special case that all the Mi are equal.

In this case we can consider the behavior of ' under permutation of the variables.

Definition 8.3.2.

(a) A multilinear function ' W M n ! N is said to be symmetric if '.x.1/; : : : ; x.n// D '.x1; : : : ; xn/ for all x1; : : : ; xn 2 M and all  2 Sn.

(b) A multilinear function ' W M n ! N is said to be skew– symmetric if '.x.1/; : : : ; x.n// D ./'.x1; : : : ; xn/ for all x1; : : : ; xn 2 M and all  2 Sn.

(c) A multilinear function ' W M n ! N is said to be alternating if '.x1; : : : ; xn/ D 0 whenever xi D xj for some i ¤ j .

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 358 — #370

i

i

358

8. MODULES

Lemma 8.3.3. The symmetric group acts Sn on the set of multilinear functions from M n to N by the formula  '.x1; : : : ; xn/ D '.x.1/; : : : ; x.n//:

The set of symmetric (resp. skew–symmetric, alternating) multilinear functions is invariant under the action of Sn.

Proof. We leave it to the reader to check that  ' is multilinear if ' is multilinear, and also that if ' is symmetric (resp. skew–symmetric, alternating), then  ' satisfies the same condition. See Exercise 8.3.2.

To check that Sn acts on ˚ n, we have to show that .  /' D .'/.

Note that

 . '/.x1; : : : ; xn/ D .'/.x.1/; : : : ; x.n//: Now write yi D x.i/ for each i. Then also y.j / D x..j // D x.j /.

Thus,  . '/.x1; : : : ; xn/ D .'/.y1; : : : ; yn/ D '.y.1/; : : : ; y.n// D '.x..1//; : : : ; x..1/// D '.x.1/ : : : ; x.n// D ./'.x1; : : : ; xn/:

n

Note that that a multilinear function is symmetric if, and only if  ' D ' for all  2 Sn and skew–symmetric if, and only if, ' D ./' for all  2 Sn.

Lemma 8.3.4. An alternating multilinear function ' W M n ! N is skew–symmetric.

Proof. Fix any pair of indices i