6.1 Definition of the Laplace Transform

Chapter 4. Higher Order Linear Equations

Hence c = 0 and therefore

n

c er t

t

1

+ · · · + cern−1 = 0.

1

n−1

(d) Repeat the preceding argument to show that c = 0. In a similar way it follows that

n−1

c

= · · · = c = 0. Thus the functions er t

t

1 , . . . , ern are linearly independent.

n−2

1

4.3 The Method of Undetermined Coefficients A particular solution Y of the nonhomogeneous nth order linear equation with constant coefficients L[y] = a y(n) + a y(n−1) + · · · + ay + a y = g(t)

(1)

0

1

n−1

n

can be obtained by the method of undetermined coefficients, provided that g(t) is of an appropriate form. While the method of undetermined coefficients is not as general as the method of variation of parameters described in the next section, it is usually much easier to use when applicable.

Just as for the second order linear equation, when the constant coefficient linear differential operator L is applied to a polynomial A tm + A tm−1 + · · · + A , an

0

1

m

exponential function eαt , a sine function sin βt, or a cosine function cos βt, the result is a polynomial, an exponential function, or a linear combination of sine and cosine functions, respectively. Hence, if g(t) is a sum of polynomials, exponentials, sines, and cosines, or products of such functions, we can expect that it is possible to find Y (t) by choosing a suitable combination of polynomials, exponentials, and so forth, multiplied by a number of undetermined constants. The constants are then determined so that Eq. (1) is satisfied.

The main difference in using this method for higher order equations stems from the fact that roots of the characteristic polynomial equation may have multiplicity greater than 2. Consequently, terms proposed for the nonhomogeneous part of the solution may need to be multiplied by higher powers of t to make them different from terms in the solution of the corresponding homogeneous equation.

Find the general solution of E X A M P L E

1

y − 3y + 3y − y = 4et .

(2)

The characteristic polynomial for the homogeneous equation corresponding to Eq. (2) is r 3 − 3r2 + 3r − 1 = (r − 1)3, so the general solution of the homogeneous equation is y (t) = c et + c tet + c t2et .

(3)

c

1

2

3

To find a particular solution Y (t) of Eq. (2), we start by assuming that Y (t) = Aet .

However, since et , tet , and t2et are all solutions of the homogeneous equation, we must multiply this initial choice by t3. Thus our final assumption is that Y (t) = At3et , where A is an undetermined coefficient. To find the correct value for A, we differentiate Y (t) three times, substitute for y and its derivatives in Eq. (2), and collect terms in the resulting equation. In this way we obtain 6 Aet = 4et .

Thus A = 2 and the particular solution is

3

Y (t) = 2 t3et .

(4)

3

The general solution of Eq. (2) is the sum of y (t) from Eq. (3) and Y (t) from Eq. (4).

c

Find a particular solution of the equation E X A M P L E

2

yiv + 2y + y = 3 sin t − 5 cos t.

(5)

The general solution of the homogeneous equation was found in Example 3 of Section 4.2, namely, y (t) = c cos t + c sin t + c t cos t + c t sin t,

(6)

c

1

2

3

4

corresponding to the roots r = i, i, −i, and −i of the characteristic equation. Our initial assumption for a particular solution is Y (t) = A sin t + B cos t, but we must multiply this choice by t2 to make it different from all solutions of the homogeneous equation.

Thus our final assumption is Y (t) = At2 sin t + Bt2 cos t.

Next, we differentiate Y (t) four times, substitute into the differential equation (4), and collect terms, obtaining finally −8A sin t − 8B cos t = 3 sin t − 5 cos t.

Thus A = − 3 , B = 5 , and the particular solution of Eq. (4) is

8

8

Y (t) = − 3 t2 sin t + 5 t2 cos t.

(7)

8

8

If g(t) is a sum of several terms, it is often easier in practice to compute separately the particular solution corresponding to each term in g(t). As for the second order equation, the particular solution of the complete problem is the sum of the particular solutions of the individual component problems. This is illustrated in the following example.

Find a particular solution of E X A M P L E

3

y − 4y = t + 3 cos t + e−2t .

(8)

First we solve the homogeneous equation. The characteristic equation is r 3 − 4r = 0, and the roots are 0, ±2; hence y (t) = c + c e2t + c e−2t .

c

1

2

3



Chapter 4. Higher Order Linear Equations

We can write a particular solution of Eq. (8) as the sum of particular solutions of the differential equations y − 4y = t,y − 4y = 3 cos t,y − 4y = e−2t .

Our initial choice for a particular solution Y (t) of the first equation is A t + A , but

1

0

1

since a constant is a solution of the homogeneous equation, we multiply by t. Thus Y (t) = t (A t + A ).

1

0

1

For the second equation we choose Y (t) = B cos t + C sin t, 2

and there is no need to modify this initial choice since cos t and sin t are not solutions of the homogeneous equation. Finally, for the third equation, since e−2t is a solution of the homogeneous equation, we assume that Y (t) = Ete−2t .

3

The constants are determined by substituting into the individual differential equations; they are A = − 1 , A = 0, B = 0, C = − 3 , and E = 1 . Hence a particular solution

0

8

1

5

8

of Eq. (8) is Y (t) = − 1 t2 − 3 sin t + 1 te−2t .

(9)

8

5

8

The amount of algebra required to calculate the coefficients may be quite substantial for higher order equations, especially if the nonhomogeneous term is even moderately complicated. A computer algebra system can be extremely helpful in executing these algebraic calculations.

The method of undetermined coefficients can be used whenever it is possible to guess the correct form for Y (t). However, this is usually impossible for differential equations not having constant coefficients, or for nonhomogeneous terms other than the type described previously. For more complicated problems we can use the method of variation of parameters, which is discussed in the next section.

PROBLEMS

In each of Problems 1 through 8 determine the general solution of the given differential equation.



















䉴 





䉴 





䉴 







4

2

䉴 









4.3The Method of Undetermined Coefficients













0

1

n



0

n



0

m





0

1

n

0

m



0

n

0

n

Method of Annihilators.

In Problems 20 through 22 we consider another way of arriving at the proper form of Y (t) for use in the method of undetermined coefficients. The procedure is based on the observation that exponential, polynomial, or sinusoidal terms (or sums and products of such terms) can be viewed as solutions of certain linear homogeneous differential equations with constant coefficients. It is convenient to use the symbol D for d/dt. Then, for example, e−t is a solution of (D + 1)y = 0; the differential operator D + 1 is said to annihilate, or to be an annihilator of, e−t . Similarly, D2 + 4 is an annihilator of sin 2t or cos 2t, (D − 3)2 = D2 − 6D + 9 is an annihilator of e3t or te3t, and so forth.

20. Show that linear differential operators with constant coefficients obey the commutative law, that is,

21. Consider the problem of finding the form of the particular solution Y (t) of (D − 2)3(D + 1)Y = 3e2t − te−t,

(i) where the left side of the equation is written in a form corresponding to the factorization of the characteristic polynomial.

(a) Show that D − 2 and (D + 1)2, respectively, are annihilators of the terms on the right side of Eq. (i), and that the combined operator (D − 2)(D + 1)2 annihilates both terms on the right side of Eq. (i) simultaneously.

(b) Apply the operator (D − 2)(D + 1)2 to Eq. (i) and use the result of Problem 20 to obtain (D − 2)4(D + 1)3Y = 0.

(ii) Thus Y is a solution of the homogeneous equation (ii). By solving Eq. (ii), show that Y (t) = c e2t + c te2t + c t2e2t + c t3e2t

1

2

3

4

+ c e−t + c te−t + c t2e−t,

(iii)

5

6

7

where c , . . . , c are constants, as yet undetermined.

1

7



Chapter 4. Higher Order Linear Equations (c) Observe that e2t , te2t , t2e2t , and e−t are solutions of the homogeneous equation corresponding to Eq. (i); hence these terms are not useful in solving the nonhomogeneous equation. Therefore, choose c , c , c , and c to be zero in Eq. (iii), so that

1

2

3

5

Y (t) = c t3e2t + c te−t + c t2e−t .

(iv)

4

6

7

This is the form of the particular solution Y of Eq. (i). The values of the coefficients c , c ,

4

6

and c can be found by substituting from Eq. (iv) in the differential equation (i).

7

Summary.

Suppose that L(D)y = g(t), (i) where L(D) is a linear differential operator with constant coefficients, and g(t) is a sum or product of exponential, polynomial, or sinusoidal terms. To find the form of the particular solution of Eq. (i), you can proceed as follows.

(a) Find a differential operator H (D) with constant coefficients that annihilates g(t), that is, an operator such that H (D)g(t) = 0.

(b) Apply H (D) to Eq. (i), obtaining H (D)L(D)y = 0, (ii)

which is a homogeneous equation of higher order.

(c) Solve Eq. (ii).

(d) Eliminate from the solution found in step (c) the terms that also appear in the solution of L(D)y = 0. The remaining terms constitute the correct form of the particular solution of Eq. (i).

the equations in Problems 13 through 18. Do not evaluate the coefficients.

4.4 The Method of Variation of Parameters

The method of variation of parameters for determining a particular solution of the nonhomogeneous nth order linear differential equation L[y] = y(n) + p (t)y(n−1) + · · · + p(t)y + p (t)y = g(t)

(1)

1

n−1

n

is a direct extension of the method for the second order differential equation (see Section 3.7). As before, to use the method of variation of parameters, it is first necessary to solve the corresponding homogeneous differential equation. In general, this may be difficult unless the coefficients are constants. However, the method of variation of parameters is still more general than the method of undetermined coefficients in that it leads to an expression for the particular solution for any continuous function g, whereas the method of undetermined coefficients is restricted in practice to a limited class of functions g.

Suppose then that we know a fundamental set of solutions y , y , . . . , y of the

1

2

n homogeneous equation. Then the general solution of the homogeneous equation is y (t) = c y (t) + c y (t) + · · · + c y (t).

(2)

c 1 1

2 2 n n

4.4The Method of Variation of Parameters

The method of variation of parameters for determining a particular solution of rests on the possibility of determining n functions u , u , . . . , u such that Y (t) is of

1

2

n

the form Y (t) = u (t)y (t) + u (t)y (t) + · · · + u (t)y (t).

(3)

1

1

2

2

n

n

Since we have n functions to determine, we will have to specify n conditions. One of these is clearly that Y satisfy Eq. (1). The other n − 1 conditions are chosen so as to make the calculations as simple as possible. Since we can hardly expect a simplification in determining Y if we must solve high order differential equations for u , . . . , u , it

1

n

is natural to impose conditions to suppress the terms that lead to higher derivatives of u , . . . , u . From Eq. (3) we obtain

1

n

Y  = (u y + u y + · · · + u y ) + (u y + u y + · · · + u y ),

(4)

1 1

2 2 n n 1 1

2 2 n n where we have omitted the independent variable t on which each function in Eq. (4) depends. Thus the first condition that we impose is that u y + u y + · · · + u y = 0.

(5)

1 1

2 2 n n

Continuing this process in a similar manner through n − 1 derivatives of Y gives

(

(Y (m) = u y m) + u y m) + · · · + u y(m),m = 0, 1, 2, . . . , n − 1,

(6)

1 1

2 2 n n and the following n − 1 conditions on the functions u , . . . , u :

1

n

(

(u y m−1) + u y m−1) + · · · + u y(m−1) = 0,m = 1, 2, . . . , n − 1.

(7)

1 1

2 2 n n The nth derivative of Y is

(

(Y (n) = (u y n) + · · · + u y(n)) + (u y n−1) + · · · + u y(n−1)).

(8)

1 1 n n 1 1 n n

Finally, we impose the condition that Y must be a solution of Eq. (1). On substituting for the derivatives of Y from Eqs. (6) and (8), collecting terms, and making use of the fact that L[y ] = 0, i = 1, 2, . . . , n, we obtain

i

(

(u y n−1) + u y n−1) + · · · + u y(n−1) = g.

(9)

1 1

2 2 n n Equation (9), coupled with the n − 1 equations (7), gives n simultaneous linear nonhomogeneous algebraic equations for u , u , . . . , u :

1

2

n

y u + y u + · · · + y u = 0, 1 1

2 2

n

n

y u + y u + · · · + y u = 0, 1 1

2 2

n

n

yu + yu + · · · + yu = 0, (10)

1

1

2

2

n

n

...

(y n−1)u + · · · + y(n−1)u = g.

1

1

n

n

The system (10) is a linear algebraic system for the unknown quantities u , . . . , u .

1

n

By solving this system and then integrating the resulting expressions, you can obtain the coefficients u , . . . , u . A sufficient condition for the existence of a solution of the

1

n

system of equations (10) is that the determinant of coefficients is nonzero for each value of t. However, the determinant of coefficients is precisely W (y , y , . . . , y ), and it is

1

2

n

nowhere zero since y , . . . , y are linearly independent solutions of the homogeneous

1

n



Chapter 4. Higher Order Linear Equations equation. Hence it is possible to determine u , . . . , u . Using Cramer’s rule, we find

1

n

that the solution of the system of equations (10) is g(t)W (t)u (t) =

m

,m = 1, 2, . . . , n.

(11)

m

W (t) Here W (t) = W (y ,y , . . . , y )(t) and W is the determinant obtained from W by

1

2

n

m

replacing the mth column by the column (0, 0, . . . , 0, 1). With this notation a particular solution of Eq. (1) is given by

n



t g(s)W (s)Y (t) = y (t)m

m

W (s)ds,

(12)

m=1

t0

where t is arbitrary. While the procedure is straightforward, the algebraic computations

0

involved in determining Y (t) from Eq. (12) become more and more complicated as n
increases. In some cases the calculations may be simplified to some extent by using Abel’s identity (Problem 20 of Section 4.1),  

W (t) = W (y , . . . , y )(t) = c exp − p (t) dt .

1

n

1

The constant c can be determined by evaluating W at some convenient point.

Given that y (t) = et , y (t) = tet , and y (t) = e−t are solutions of the homogeneous

1

2

3

E X A M P L E equation corresponding to

1

y − y − y + y = g(t), (13)

determine a particular solution of Eq. (13) in terms of an integral.

We use Eq. (12). First, we have

et

tet

e−t 

W (t) = W (et , tet , e−t )(t) =  et(t + 1)et −e−t  .





et

(t + 2)et

e−t 

Factoring et from each of the first two columns and e−t from the third column, we obtain



 1

t

1 

W (t) = et  1 t + 1 −1  .





1

t + 2

1 

Then, by subtracting the first row from the second and third rows, we have

 1

t

1 

W (t) = et  0

1

−2  .





0

2

0 

Finally, evaluating the latter determinant by minors associated with the first column, we find that W (t) = 4et .

4.4The Method of Variation of Parameters Next,

 0

tet

e−t 

W (t) =  0 (t + 1)et −e−t  .

1





1

(t + 2)et

e−t 

Using minors associated with the first column, we obtain

tet

e−t 

W (t) = 



1

(t + 1)et −e−t  = −2t − 1.

In a similar way

et

0

e−t 





et

e−t 

W (t) =  et

0

−e−t  = − 



2





et

−e−t  = 2,

et

1

e−t 

and





et

tet

0 





et

tet



W (t) =  et(t + 1)et 0  = 



3





et

(t + 1)et  = e2t.

et

(t + 2)et

1 

Substituting these results in Eq. (12), we have







t g(s)(−1 − 2s)t g(s)(2)t g(s)e2sY (t) = etds + tetds + e−t

ds

t

4es

t

4es

t

4es

0

0

0

t 



= 1 et−s [−1 + 2(t − s)] + e−(t−s) g(s) ds.

4 t0

PROBLEMS

In each of Problems 1 through 6 use the method of variation of parameters to determine the general solution of the given differential equation.





























䉴 







䉴 









䉴 







䉴 









determine a particular solution.



Chapter 4. Higher Order Linear Equations 14. Find a formula involving integrals for a particular solution of the differential equation

15. Find a formula involving integrals for a particular solution of the differential equation

16. Find a formula involving integrals for a particular solution of the differential equation

17. Find a formula involving integrals for a particular solution of the differential equation



REFERENCES Coddington, E. A., An Introduction to Ordinary Differential Equations (Englewood Cliffs, NJ: Pren tice Hall, 1961; New York: Dover, 1989).

Ince, E. L., Ordinary Differential Equations (London: Longmans, Green, 1927; New York: Dover, 1953).