11.4. CRYSTALS

i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 501 — #513

i

i

11.4. CRYSTALS

501

G \ SO.3; R/ is a finite rotation group, so it is on the list of Theorem 11.3.1.

11.3.8. If G is a finite subgroup of O.3; R/ and the inversion i W x 7! x

is an element of G, then G D H [ iH Š H  Z2, where H D G \ SO.3; R/. Conversely, for any H on the list of Theorem 11.3.1, G D H [ iH Š H  Z2 is a subgroup of O.3; R/.

11.3.9.

(a) Suppose G is a finite subgroup of O.3; R/, that G is not contained in SO.3; R/, and that the inversion is not an element of G. Let H D G \ SO.3; R/. Show that   W a 7! det.a/a is an isomorphism of G onto a subgroup Q G of SO.3; R/, and H  Q

G is an index 2 subgroup.

(b) Conversely, if H  Q G is an index 2 pair of subgroups of SO.3; R/, let R 2 Q G n H , and define G D H [ . R/H  O.3; R/.

Show that G is a subgroup of O.3; R/, G is not contained in SO.3; R/, and the inversion is not an element of G. Furthermore,  .G/ D Q G.

(c) Show that the complete list of index 2 pairs in SO.3; R/ is (i) Zn  Z2n; n  1 (ii) Zn  Dn; n  2 (iii) Dn  D2n; n  2 (iv) The rotation group of the tetrahedron contained in the rota tion group of the cube.

This exercise completes the classification of finite subgroups of O.3; R/. Note that this is more than a classification up to group isomorphism; the groups are classified by their mode of action. For example, the abstract group Z2n acts as a rotation group but also as a group of rotations and reflection–rotations, due to the pair Zn  Z2n on the list of the previous exercise. More precisely, the classification is up to conjugacy:

Recall that two subgroups A and B of O.3; R/ are conjugate if there is a g 2 O.3; R/ such that A D gBg 1; conjugacy is an equivalence relation on subgroups. Our results classify the conjugacy classes of subgroups of O.3; R/.

11.4. Crystals

In this section, we shall investigate crystals in two and three dimensions, with the goal of analyzing their symmetry groups. We will encounter several new phenomena in group theory in the course of this discussion: Let’s first say what we mean by a crystal.

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 502 — #514

i

i

502

11. ISOMETRY GROUPS

Definition 11.4.1. A lattice L in a real vector space V (for us, V D R2 or V D R3) is the set of integer linear combinations of some basis of V .

1



1=2 

For example, take the basis a D ; b D

p

in R2. Fig 0

3=2

ure 11.4.1 shows (part of) the lattice generated by fa; bg.

Figure 11.4.1. Hexagonal lattice.

Definition 11.4.2. A fundamental domain for a lattice L in V is a closed region D in V such that (a)

S x2L x C D D V (b) For x ¤ y in L, .x CD/\.y CD/ is contained in the boundary of .x C D/.

That is, the translates of D by elements of L cover V , and two different translates of D can intersect only in their boundary. (I am not interested in using complicated sets for D; convex polygons in R2 and convex polyhedra in R3 will be general enough.)

For the lattice displayed in Figure 11.4.1, two different fundamental domains are

1. The parallelepiped spanned by fa; bg, namely, fsa C tb W 0  s; t  1g 2. A hexagon centered at the origin, two of whose vertices are at

p

.0; ˙1= 3/x

Definition 11.4.3. A crystal consists of some geometric figure in a fundamental domain of a lattice together with all translates of this figure by elements of the lattice.

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 503 — #515

i

i

11.4. CRYSTALS

503

For example, take the hexagonal fundamental domain for the lattice L described previously, and the geometric figure in the fundamental domain displayed in Figure 11.4.2. The crystal generated by translations of this pattern is shown in Figure 11.4.3.

Figure 11.4.2. Pattern in fundamental domain.

Figure 11.4.3. Hexagonal crystal.

Crystals in two dimensions (in the form of fabrics, wallpapers, car pets, quilts, tilework, basket weaves, and lattice work) are a mainstay of decorative art. See Figure 11.4.4 on the next page. You can find many examples by browsing in your library under “design” and related topics.

For some remarkable examples created by “chaotic” dynamical systems, see M. Field and M. Golubitsky, Symmetry in Chaos, Oxford University Press, 1992.

What we have defined as a crystal in three dimensions is an idealiza tion of physical crystals. Many solid substances are crystalline, consisting of arrangements of atoms that are repeated in a three–dimensional array.

Solid table salt, for example, consists of huge arrays of sodium and chlorine atoms in a ratio of one to one. From x-ray diffraction investigation, it is known that the lattice of a salt crystal is cubic, that is, generated by three orthogonal vectors of equal length, which we can take to be one unit.

A fundamental domain for this lattice is the unit cube. The sodium atoms

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 504 — #516

i

i

504

11. ISOMETRY GROUPS

Figure 11.4.4. “Crystal” in decorative art.

occupy the eight vertices of the unit cube and the centers of the faces. The chlorine atoms occupy the centers of each edge as well as the center of the cube. (Each atom is surrounded by six atoms of the opposite sort, arrayed at the vertices of an octahedron.)

We turn to the main concern of this section: What is the group of isometries of a crystal? Of course, the symmetry group of a crystal built on a lattice L will include at least L, acting as translations. I will make the standing assumption that enough stuff was put into the pattern in the fundamental domain so that the crystal has no translational symmetries other than those in L.

Assumption: L is the group of translations of the crystal.

Now I want to define a “linear part” of the group of symmetries of a crystal, the so-called point group. One could be tempted by such examples as that in Figure 11.4.3 on the preceding page to define the point group of a crystal to be intersection of the symmetry group of the crystal with the orthogonal group. This is pretty close to being the right concept, but it is not quite right in general, as shown by the following example: Let L be the square lattice generated by f Oe1; Oe2g. Take as a fundamental domain the square with sides of length 1, centered at the origin. This square is divided into quarters by the coordinate axes. In the southeast quarter, put a small copy of the front page of today’s New York Times. In the northwest corner, put a mirror image copy of the front page. The crystal generated by this data has no rotation or reflection symmetries. (See Figure 11.4.5.)

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 505 — #517

i

i

11.4. CRYSTALS

505

Nevertheless, its symmetry group is larger than L, namely,  Oe2=2 is a symmetry, where  is the reflection in the y–axis.

All

All

All

the

the

the

News

News

News

All

All

All

the

the

the

News

News

News

All

All

All

the

the

the

News

News

News

All

All

All

the

the

the

News

News

News

Figure 11.4.5. New York Times crystal.

This example points us to the proper definition of the point group.

The symmetry group G of a crystal is a subgroup of Isom.V/ (where V D R2 or R3). We know from Theorem 11.1.10 that Isom.V/ is the semidirect product of the group V of translations and the orthogonal group O.V /. The lattice L is the intersection of G with the group of translations and is a normal subgroup of G. The quotient group G=L is isomorphic to the image of G in Isom.V/=V Š O.V/, by Proposition 2.7.18.

Definition 11.4.4. The point group G0 of a crystal is G=L.

Recall that the quotient map of Isom.V/ onto O.V / is given as fol lows: Each isometry of V can be written uniquely as a product   , where  is a translation and  is a linear isometry. The image of   in O.V / is  . For the New York Times crystal, the symmetry group is generated by  Oe ,  , and 

1

O

e2

O

e2=2 , where  is the reflection in the y–axis. Therefore, the point group is the two element group generated by  in O.2; R/.

Of course, there are examples where G0 Š G \ O.V /; this happens when G is the semidirect product of L and G \ O.V / (Exercise 11.4.2).

Now, consider x 2 L and A 2 G0. By definition of G0, there is an h 2 V such that hA 2 G. Then .hA/x.hA/ 1 D hAx h D Ax 2

G. It follows from our assumption that Ax 2 L. Thus, we have proved the following: Lemma 11.4.5. L is invariant under G0.

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 506 — #518

i

i

506

11. ISOMETRY GROUPS Let F be a basis of L, that is, a basis of the ambient vector space V (D R2 or R3) such that L consists of integer linear combinations of F.

Since for A 2 G0 and a 2 F, Aa 2 L, it follows that the matrix of A with respect to the basis F is integer valued. This observation immediately yields a strong restriction on G0: Proposition 11.4.6. Any rotation in G0 is of order 2, 3, 4, or 6.

Proof. On the one hand, a rotation A 2 G0 has an integer valued matrix with respect to F so, in particular, the trace of A is an integer. On the other hand, with respect to a suitable orthonormal basis of V , A has the matrix

2cos./

sin. /

03

4 sin. /

cos. /

05

0

0

1

in the three–dimensional case or

cos./

sin. /

sin. /

cos. /

in the two–dimensional case. So it follows that 2 cos. / is an integer, and, therefore,  D ˙2=k for k 2 f2; 3; 4; 6g.

n

Corollary 11.4.7. The point group of a two–dimensional crystal is one of the following ten groups (up to conjugacy in O.2; R/): Zn or Dn for n D 1; 2; 3; 4; 6.

Proof. This follows from Exercise 11.3.1 and Proposition 11.4.6.

n

We will call the classes of point groups, up to conjugacy in O.2; R/, the geometric point groups.

Corollary 11.4.8.

(a) The elements of infinite order in a two–dimensional crystal group are either translations or glide–reflections.

(b) An element of infinite order is a translation if, and only if, it commutes with the square of each element of infinite order.

Proof. The first part follows from the classification of isometries of R2, together with the fact that rotations in a two–dimensional crystal group are of finite order. Since the square of a glide–reflection or of a translation i

i

i

i

is a translation, translations commute with the square of each element of infinite order. On the other hand, if  is a glide–reflection, and  is a translation in a direction not parallel to the line of reflection of  , then  does not commute with  2.

n

Lemma 11.4.9. Let L be a two–dimensional lattice. Let a be a vector of minimal length in L, and let b be a vector of minimal length in L n Ra.

Then fa; bg is a basis for L; that is, the integer linear span of fa; bg is L.

Proof. Exercise 11.4.4.

n

Lemma 11.4.10. Suppose the point group of a two–dimensional crystal contains a rotation R of order 3,4, or 6. Then the lattice L must be (a) the hexagonal lattice spanned by two vectors of equal length at an angle of =3, if R has order 3 or 6 or (b) the square lattice spanned by two orthogonal vectors of equal length, if R has order 4.

Proof. Exercise 11.4.5.

n

Lemma 11.4.11. Let Gi be symmetry groups of two–dimensional crystals, with lattices Li and point groups G0, for i

i D 1; 2. Suppose ' W G1 ! G2

is a group isomorphism. Then (a) '.L1/ D L2.

(b) There is a ˚ 2 GL.R2/ such that '.x/ D ˚.x/ for x 2 L1.

The matrix of ˚ with respect to bases of L1 and L2 is integer valued, and the inverse of this matrix is integer valued.

(c) ' induces an isomorphism Q ' W G01 ! G02. For B 2 G01, we have Q'.B/ D ˚B˚ 1.

(d) ' maps affine rotations to affine rotations, affine reflections to affine reflections, translations to translations, and glide– reflections to glide–reflections.

Proof. If  is a translation in G1, then  commutes with the square of every element of infinite order in G1. It follows that '. / is an element of infinite order in G2 with the same property, so '. / is a translation, by Corollary 11.4.8. This proves part (a).

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 508 — #520

i

i

508

11. ISOMETRY GROUPS The isomorphism ' W L1 ! L2 extends to a linear isomorphism ˚ W R2 ! R2, whose matrix A with respect to bases of L1 and L2 is integer valued; applying the same reasoning to ' 1 shows that A 1 is also integer valued. This proves part (b).

If i denotes the quotient map from Gi to G0 i D Gi =Li , for i D 1; 2, then 2 ı ' W G1 ! G02 is a surjective homomorphism with kernel L1; therefore, there is an induced isomorphism Q ' W G01 D G1=L1 ! G02 such that Q ' ı 1 D 2 ı ', by the Homomorphism Theorem 2.7.6.

On the other hand, G0 can be identified with a finite subgroup of i

O.R2/: G0 is the set of B

i

2 O.R2/ such that there exists a h 2 R2 such that hB 2 Gi . So let B 2 G01 and let h 2 R2 satisfy hB 2 G1. Then '.hB/ D k Q '.B/ for some k 2 R2. Compute that Bx D .hB/x.hB/ 1 for x 2 L1. Applying ' to both sides gives ˚.Bx/ D k Q '.B/˚.x/ Q '.B/ 1 k D  Q'.B/˚.x/. Therefore, Q'.B/ D ˚B˚ 1, which completes the proof of (c).

The isomorphism ' maps translations to translations, by part (a). The glide–reflections are the elements of infinite order that are not translations, so ' also maps glide–reflections to glide–reflections. The affine rotations in G1 are elements of the form g D hB, where B is a rotation in G01; for such an element, '.g/ D k˚B˚ 1 is also a rotation. Use a similar argument for affine reflections, or use the fact that affine reflections are the elements of finite order that are not affine rotations.

n

Remark 11.4.12. We can show that any finite subgroup of GL.Rn/ is conjugate in GL.Rn/ to a subgroup of O.Rn/, and subgroups of O.Rn/ that are conjugate in GL.Rn/ are also conjugate in O.Rn/. In particular, isomorphic two–dimensional crystal groups have point groups belonging to the same geometric class. These statements will be verified in the Exercises.

Theorem 11.4.13. There are exactly 17 isomorphism classes of two– dimensional crystal groups. They are distributed among the geometric point group classes, as in Table 11.4.1.

Proof. The strategy of the proof is to go through the possible geometric point group classes and produce for each a list of possible crystal groups; these are then shown to be mutually nonisomorphic by using Lemma In the proof, G will always denote the crystal group, G0 the point group, and L the lattice. The main difficulties are already met in the case G0 D D1.

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 509 — #521

i

i

11.4. CRYSTALS

509

geometric class number of isomorphism classes

Z1

1

D1

3

Z2

1

D2

4

Z3

1

D3

2

Z4

1

D4

2

Z6

1

D6

1

Table 11.4.1. Distribution of classes of crystal groups.

Point group Z1. The lattice L is the entire symmetry groups. Any two lattices in R2 are isomorphic as groups. A crystal with trivial point group is displayed in Figure 11.4.6.

Figure 11.4.6. Crystal with trivial point group.

Point group D1. The point group is generated by a single reflection  in a line A through the origin. Let B be an orthogonal line through the origin.

If v is any vector in L that is not in A [ B, then v C .v/ is in L \ A and

v

 .v/ is in L \ B. Let L0 be the lattice generated by L \ .A [ B/.

Case: L0 D L. In this case the lattice L is generated by orthogonal vectors a 2 A and b 2 B.

If  2 G, then G is the semidirect product of L and D1. This isomor phism class is denoted D1m.

i

i

i

i



i

“bookmt” — 2006/8/8 — 12:58 — page 510 — #522

i

i

510

11. ISOMETRY GROUPS If  62 G, then G contains a glide–reflection h in a line parallel to

A; without loss of generality, we can suppose that the origin is on this line and that g D sa, with 0